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7. extremos, crecimiento y decrecimiento

Se dice que una función es creciente en un intervalo si, para todo x1 y x2 en el intervalo tal que x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2).

Una función se dice que es decreciente en un intervalo si, para todo x1 y x2 en el intervalo tal que x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2).

El máximo y el mínimo de una función, llamados conjuntamente extremos, son el mayor y el menor valor que toma la función en cada punto de un entorno dado (extremo reslativo) o en todo el dominio (extremo global).

Si f es derivable en (a,b):

–f es creciente en (a,b) ↔ f’(x) > 0

 

–f es decreciente en (a,b) ↔ f’(x) < 0

 
 Si f es derivable en cЄR, entonces:

  f tiene un extremo relativo en c → f’(c) = 0

NOTA: los candidatos a ser extremo relativo son cЄR/ f’(c) = 0 o aquellos en los que f no es derivable

 
 
 
 
 
Ejercicio. Encuentra los extremos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = x·ex
 
 
 
 
 
 
 
Solución: mínimo (-1,-1/e), crecimiento (-1,∞): decrecimiento (-∞,-1)