Todas las ecuaciones lineales tienen esta forma:
a1x1 + a2x2 + …..+ anxn = b
donde a1,a2,…, an,b son números reales y x1, x2, ….., xn son incógnitas o variables
Si b = 0 se llama ecuación homogénea.
Una solución de la ecuación es un conjunto de valores de las variables, x1 = k1, x2 = k2,…., xn = kn, los cuales convierten la ecuación en una igualdad numérica.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas que deben tener solución común. Tiene esta forma:
Una solución de un sistema es una solución de todas las ecuaciones.
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones.
Dependiendo del número de soluciones, podemos clasificar los sistemas en:
–Sistemas compatibles: si existe solución. Pueden ser:
- Sistemas compatibles determinados: con sólo una solución
- Sistemas compatibles indeterminados: con infinitas soluciones
–Sistemas incompatibles: sin solución
0x1 + 0x2 + ….. + 0xn = b
Entonces:
–Si b = 0, se llama ecuación trivial
–Si b ≠ 0, se llama ecuación absurda
Sea A € Mmxn(R), se llama menor de orden p al determinante de cada submatriz pxp de A.
Entonces, el rango de A al mayor orden de entre los menores distintos de cero de A.
Se dice que una fila o columna es linealmente dependiente si es una combinación lineal de las otras. En caso contrario, se dice que es linealmente independiente. Entonces, el rango de una matriz es, también, el mayor número de filas o columnas linealmente independientes de A.
Hay dos maneras diferentes de calcular el rango de una matriz:
–Gauss: transformamos la matriz en una escalonada, y el rango es entonces el número de filas o columnas no nulas.
–Usando menores.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
- Sea el sistema A·X = B, donde:
- Entonces:
(1) El sistema es compatible↔ rg(A) = rg(A*)
(2) Si rg(A) = rg(A*) = r→
REGLA DE CRAMER: Decimos que un sistema es de Cramer si:
–(1) # ecuaciones = # incógnitas
–(2) det A ≠ 0
Entonces
–(i) Es compatible determinado
(ii)
donde Ai es la matriz resultante cuando cambiamos la ia columna por B.