Sea A € Mmxn(R), se llama menor de orden p al determinante de cada submatriz pxp de A.
Entonces, el rango de A al mayor orden de entre los menores distintos de cero de A.
Se dice que una fila o columna es linealmente dependiente si es una combinación lineal de las otras. En caso contrario, se dice que es linealmente independiente. Entonces, el rango de una matriz es, también, el mayor número de filas o columnas linealmente independientes de A.
Hay dos maneras diferentes de calcular el rango de una matriz:
–Gauss: transformamos la matriz en una escalonada, y el rango es entonces el número de filas o columnas no nulas.
Ejemplo 1:
–Usando menores:
Ejemplo 2:
Buscamos un determinante no nulo de orden 1:
|1|≠ 0
Entonces uno de orden 2, que contenga al de orden 1:
Orlamos el de orden 2 con los elementos de una nueva fila:
Si todos son cero, tachamos la fila porque es linealmente dependiente.
Hacemos lo mismo con la cuarta fila
Como todos son cero la tachamos → rango(A) = 2
NOTA. Al empezar tachamos todas las filas de ceros y las que son iguales o proporcionales a otras.
Ejemplo 3:
Tenemos determinantes no nulos de orden 1 y 2, orlamos el de orden 2:
Y este con la cuarta fila:
Ejercicios
1.- ¿Cuál es el rango de esta matriz?
2.- Averigua el rango de estas matrices en función del parámetro a:
Soluciones: 1) rg(A) = 3
2) rg(B) = 1 si a = 2; rg(B) = 2 si a ≠ 2
rg(C) = 2 a € R
rg(D) = 2 si a = 1; rg(D) = 3 si a ≠ 1