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Resumen

Una función f, es una relación entre dos conjuntos de modo que cada elemento del primer conjunto está relacionado con exactamente un elemento del segundo.


Una función real de variable real es una función cuyos conjuntos son los números reales:

       conjunto inicial   conjunto final

                                     imagen de x

El dominio de una función es el subconjunto del conjunto inicial de elementos que tienen una imagen.
 
El recorrido o rango es el subconjunto del conjunto final de elementos que son imagen de un elemento del dominio.
Definimos la suma, resta, multiplicación y división de funciones como:
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(f/g) (x) = f(x)/g(x) (si g(x)≠0)
La composición de funciones es la aplicación de una función al resultado de otra. Se representa gₒf, y se lee “f compuesta con g”.
gₒf(x) = g(f(x)) (si f(x)Є Dom g)
La inversa de una función f es otra función que “deshace lo que hace f”, es decir, es la función f-1 que cumple que
fₒf-1(x) = f-1ₒf (x) = i(x) = x

El límite de una función f, cuando x tiende a c es L si f(x) puede estar tan cerca de L como queramos haciendo que x esté lo suficientemente cerca a c:

o

No siempre encontramos el mismo límite cuando nos acercamos por los dos lados, por esto definimos los límites laterales:


- El límite por la izquierda cuando x tiende a c es L-, puede estar tan cerca de L- como queramos haciendo que x esté lo suficientemente cerca a c por la izquierda:

- El límite por la derecha cuando x tiende a c es L+, puede estar tan cerca de L+ como queramos haciendo que x esté lo suficientemente cerca a c por la derecha:

Entonces, la función tiene límite cuando x tiende a c si y solo si los límites laterales existen y son iguales:

Otras definiciones:

 

NOTA. Recuerda que cuando


tenemos una asíntota vertical en x = c

Propiedades:
 
5) Si el límite existe, es único.

NOTA. recuerda que

En límites infinitos con funciones polinomiales, el límite es siempre ±∞ dependiendo del signo del coeficiente de grado mayor.
Las indeterminaciones son límites que son diferentes dependiendo de la situación. Son:
 
Los límites infinitos con funciones racionales son siempre una indeterminación, que se resuelve dividiendo todos los términos por x elevada al mayor grado.
 
Podemos encontrar indeterminaciones en la resta de raíces cuadradas, en cuyo caso debemos multiplicar y dividir por el conjugado.

Si c es -∞, hacemos el cambio:


Cuando c no es infinito, podemos encontrar otra indeterminación: 0/0

Si el límite tiene potencias, recuerda la propiedad:

El número e es el límite:


que se usa en las indeterminaciones del tipo 1∞

Una función f, definida en un intervalo abierto centrado en a, se dice que es continua en x = a si:

o

En caso contrario, se dice que es discontinua.

Propiedades. Si f y g son continuas en a y k Є R:
- k·f es continua en a
- f±g es continua en a
- f·g es continua en a
- f/g es continua en a, si g(a)≠0
- Si f es continua en a y g en f(a) → gₒf es continua en a

Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si f es continua
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si f es continua

Hay diferentes tipos de discontinuidades:

- Discontinuidad evitable: si el límite existe pero no es igual a f(a).

–Discontinuidad inevitable: cuando existen los límites laterales y no son iguales. Puede ser salto finito o infinito

– Discontinuidad de 2ª especie: cuando no existe uno de los límites laterales.

Teorema de Bolzano. Si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, entonces

NOTA. Este teorema es una herramienta para aproximar una raíz de una ecuación irresoluble o para mostrar que existe.

Teorema de Bolzano-Weirstrass. Si f es continua en [a,b], entonces f tiene, al menos, un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo. Es decir:

Teorema del valor intermedio. Si f es continua en [a,b] y