Definimos la suma, resta, multiplicación y división de funciones como:
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(f/g) (x) = f(x)/g(x) (si g(x)≠0)
Ejemplo. Si f(x) = x2 -2, g(x) = 3x + 2, entonces:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 3x
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 – 3x - 4
(f · g)(x) = f(x) · g(x) = 3x3 + 2x2 – 6x - 4
(f/g) (x) = f(x)/g(x) = (x2 -2)/(3x + 2), si x ≠ -2/3
La composición de funciones es la aplicación de una función al resultado de otra. Se representa gₒf, y se lee “f compuesta con g”.
gₒf(x) = g(f(x)) (si f(x)Є Dom g)
Ejemplo. Si f(x) = x + 1, g(x) = x2, entonces:
gₒf(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x +1
fₒg(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1
NOTA. Como se puede ver, la composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa:
gₒf ≠ fₒg
La inversa de una función f es otra función que “deshace lo que hace f”, es decir, es la función f-1 que cumple que
fₒf-1(x) = f-1ₒf (x) = i(x) = x
Ejemplo 1. Si f(x) = x2, entonces f-1(x) = √x, porque f˚ f-1(x) = f(√x) = (√x)2= x
f-1ₒf (x) = f-1(x2) = √x2 = x
Ejemplo 2. Si f(x) = 1/x, entonces f-1(x) = 1/x, porque
fₒf-1(x) = f(1/x) = 1/(1/x)= x
f-1ₒ f (x) = f-1(1/x) = 1/(1/x)= x
Ejemplo 3. Encuentra la inversa de f(x) = √(2x)
x = √(2y) → x2 = 2y → y = f-1(x) = x2/2
NOTA. Las funciones inversas son simétricas respecto su eje de simetría es la recta: y = x
Ejercicio
Soluciones:
