Si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, entonces
NOTA. Este teorema es una herramienta para aproximar una raíz de una ecuación irresoluble o para mostrar que existe.
Ejemplo. Demuestra que la ecuación x3 – 3x + 40 = 0 tiene una raíz real y aproxímala a las décimas.
Sea f(x) = x3 – 3x + 40
f es continua en R, porque es una función polinómica y, además, f(-4) = -12 y f(-3) = 22.
Entonces, usando el Teorema de Bolzano, existe c en (-4,-3) tal que f(c) = 0 ↔c3 – 3c + 40 = 0↔c es una raíz de la ecuación.
Como además f(-3,8) = -3,472, f(-3,7) = 0,447 entonces, usando otra vez el Teorema, c ≈-3,7
Ejercicios
1.- Demuestra que las gráficas de las funciones:
se cortan en al menos un punto.
2.- La función
está definida en el intervalo [0,1] y f(0)·f(1)<0, pero no existe ningún c en [0,1] tal que f(c) = 0. ¿Contradice al Teorema de Bolzano?
Soluciones:
1.- Usa el Teorema de Bolzano para la función f - g;
2.- No contradice al Teorema de Bolzano porque f no es continua en [0,1]