Una función f, es una correspondencia entre dos conjuntos de modo que a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto.
Una función real de variable real es una función entre los números reales:
El dominio de una función es el subconjunto del conjunto inicial de los elementos que tienen imagen:
El recorrido o imagen es el subconjunto del conjunto final de elementos que son imagen de un elemento del dominio:
Se define la suma, resta, multiplicación y división de funciones como:
- (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
- (f · g)(x) = f(x) · g(x)
- (f/g) (x) = f(x)/g(x) (si g(x)≠0)
La función composición es la aplicación de una función al resultado de otra. Se representa g°f, y se lee “f compuesto con g”
g°f(x) = g(f(x)) (si f(x)Є Dom g)
NOTA. Como has visto, la composición no cumple la propiedad conmutativa:
g°f ≠ f°g
La función inversa de f es la función que deshace a la función f, es decir, es la función f-1 que cumple f˚ f-1(x) = f-1 ˚f (x) = i(x) = x
El límite de una función f cuando x tiende a c es L si f(x) se acerca tanto a L como deseemos aproximando lo suficiente x a c:
O:
No siempre se encuentra el mismo límite si nos acercamos por los dos lados, esto es por lo que definimos los límites laterales:
– El límite de una función f cuando x se acerca a c por la izquierda es L- si f(x) se puede acercar tanto a L- como queramos aproximando lo suficiente x a c desde abajo:
– El límite de una función f cuando x se acerca a c por la derecha es L+ si f(x) se puede acercar tanto a L+ como queramos aproximando lo suficiente x a c desde arriba:
Entonces, la función tiene límite en a si y solo si los límites laterales existen y son iguales:
Otras definiciones:
NOTA: Recuerda que cuando
tenemos una asíntota vertical
En límites infinitos con funciones polinómicas, el límite es siempre ±∞ dependiendo del signo del coeficiente del término de mayor grado.
Las indeterminaciones son límites diferentes en cada situación. Son:
que se usa en las indeterminaciones del tipo 1∞
Una función f, definida en un intervalo abierto centrado en a, se dice que es continua en x = c si:
O:
En caso contrario, se dice que f es discontinua.
Propiedades. Si f y g son continuas en c y k Є R:
- k·f es continua en c
- f±g es continua en c
- f·g es continua en c
- f/g es continua en c, si g(c)≠0
- Si f es continua en c y g en f(c) →g˚f es continua en c
Hay diferentes tipos de discontinuidades:
–Discontinuidad evitable: si existe el límite y no es f(c).
–Discontinuidad inevitable: cuando existen los límites laterales y no son iguales. El salto puede ser finito o infinito.
–Discontinuidad de 2ª especie: cuando no existe uno de los límites laterales.
TEOREMA DE BOLZANO. Si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, entonces
