operaciones con funciones

Se define la suma, resta, multiplicación y división de funciones como:

• (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
• (f · g)(x) = f(x) · g(x)
• (f/g) (x) = f(x)/g(x) (si g(x)≠0)

Ejemplo: si f(x) = x² -2, g(x) = 3x + 2, entonces:

• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² + 3x
• (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² – 3x - 4
• (f · g)(x) = f(x) · g(x) = 3x³ + 2x² – 6x - 4
• (f/g) (x) = f(x)/g(x) = (x² -2)/(3x + 2), si x ≠ -2/3

La función composición es la aplicación de una función al resultado de otra. Se representa g_°f, y se lee “f compuesto con g”.

   g_°f(x) = g(f(x))   (si f(x)Є Dom g)

 Ejemplo. Si f(x) = x + 1; g(x) = x², entonces:

   g_°f(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x +1

  f_°g(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 1

NOTA. Como has visto, la composición no cumple la propiedad conmutativa:

  g_°f ≠ f_°g

La función inversa de f es la función que deshace a la función f, es decir, es la función f^-1 que cumple f_^˚ f^-1(x) = f^-1 _˚f (x) = i(x) = x

Ejemplo 1: si f(x) = x², entonces f^-1(x) = √x, porque

  f_° f^-1(x) = f(√x) = (√x)²= x

  f^-1_°f (x) = f^-1(x2) = √x² = x

Ejemplo 2: si f(x) = 1/x, entonces f^-1(x) = 1/x, porque

  f˚_°f^-1(x) = f(1/x) = 1/(1/x)= x

  f^-1_°f (x) = f^-1(1/x) = 1/(1/x)= x 

x = √(2y) → x² = 2y → y = f^-1(x) = x²/2

NOTA. Las funciones inversas son simétricas y su eje de simetría es la recta y = x

Ejercicio

Soluciones: