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Continuidad y derivabilidad

TEOREMA. Si una función f es derivable en x = a, entonces f es también continua en x = a.

Demostración: tenemos que probar que

NOTA. No todas las funciones continuas son derivables en x = a.

Ejemplo. f(x) = |x| en x = 0

   
 
Como se puede observar, la derivabilidad implica curvas suaves y la no derivabilidad picos.

 
Definimos la función derivada como:
Sólo tenemos que estudiar la derivabilidad en los puntos en los que la función es continua. En esos puntos tenemos que comprobar que los límites laterales (derivadas laterales) son iguales: f’(a-) = f’(a+) (derivada izquierda = derivada derecha).
Ejemplo:

                                                           f es derivable en R-{1}

 

Ejercicios

1.- Encuentra la derivada de las funciones:

2.- Encuentra la abscisa en la cual la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x2 + 1 es 6.

3.- Estudia la derivabilidad de:

4.- Encuentra los valores de a y b que hacen que la función

  

sea continua y derivable en R.

 

 

 

 

 

Soluciones: 1. f'(x) = -2/x2; b) f'(x) = 2x; 2. x = 3; 3. f es derivable en R; 4. a = 2, b = -1