Resumen | Intervalos de confianza

La Estadística inferencial trata de inferir información sobre una población a través de muestras aleatorias.

Dentro de la Estadística inferencial encontramos la Estadística inductiva, que estima los parámetros de la población a través de los de las muestras. Esto se puede hacer usando intervalos o puntos.

La estimación puntual consiste en estimar un parámetro desconocido de la población por un único valor. Esta estimación es más precisa pero menos fiable que la estimación por intervalos.

El estadístico que usamos para estimar se llama estimador puntual

Los estimadores puntuales pueden ser:

–Estimador puntual insesgado: si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al correspondiente parámetro de la población. Son:

La media muestral es el estimador insesgado de la media de la población
La proporción muestral es el de la proporción de la población

–Estimador puntual sesgado: si la media de la distribución muestral de un estadístico no es igual al correspondiente parámetro de la población.

Debemos usar el estimador puntual insesgado más eficiente, es decir, el que su distribución muestral tenga menor dispersión.

Consideremos una serie grande de muestras de tamaño n de una población de media μ y desviación típica σ.

Sabemos que la distribución muestral de la media sigue una normal N(μ,σ/√n).

estamos diciendo que la probabilidad de que, una vez extraída una muestra aleatoria de tamaño n, estamos seguros al 99% de que la media de esta muestra está en el intervalo

Estos intervalos se llaman intervalos de confianza para un nivel de confianza, al que corresponde un valor crítico.

El nivel de confianza, 1-α, significa que con una confianza del (1-α)·100% el intervalo contiene al parámetro que estamos estimando. A cada nivel de confianza, N_c, le corresponde un valor crítico z_α/2, relacionado con la normal N(0,1), y que verifica:

Los extremos del intervalo se llaman límites de confianza.

α se llama nivel de significación.

Para construir el intervalo de confianza en el que está el parámetro de la población con un nivel de confianza de N_c, tenemos que seguir los siguientes pasos:

–Determinar el estimador muestral

–Determinar la desviación típica correspondiente al estimador

–Determinar el valor crítico z_α/2 correspondiente al nivel de confianza N_c

–Entonces, el intervalo de confianza deseado es: (estimador - z_α/2·σ, estimador + z_α/2·σ)

Los intervalos de confianza, dependiendo del parámetro de la población que estimemos, son:

Para determinar el valor crítico si tenemos, por ejemplo, un nivel de confianza N_c = 99%, tiene que verificar:

Entonces

y si despejamos:

Usando la tabla de la normal, deducimos que z_α/2=2,58

Generalmente, podemos decir que el valor crítico z_α/2 correspondiente a un nivel de confianza N_c, se calcula por la expresión

y usando, entonces, la tabla de la normal.

Cuando estudiamos el intervalo de confianza, vemos que su amplitud depende de estos términos:

Es decir, cuanto mayor es el tamaño de la muestra más fiable es el interval, pero, también, es más caro el estudio.

Entonces el objetivo es encontrar un buen tamaño muestral que sin excesivo gasto nos proporcione unos resultados fiables y nos delimite el error máximo admisible:

Entonces, el error máximo admisible verifica:

–A mayor nivel de confianza, mayor z_α/2 y, por lo tanto, mayor error

–A mayor tamaño de la muestra, menor error

Podemos obtener el tamaño de la muestra a través de las expresiones del error:

–Para estimar la media:

–Para estimar proporciones:

En la ficha técnica de una encuesta deben aparecer claros una serie de apartados, que vemos a continuación:

- Ámbito geográfico de la encuesta.

- Universo de elementos, personas objeto de la investigación.

-Tipo de muestreo y forma de recogida de la información.

- Error admisible y margen de confianza.

-Tamaño de la muestra compatible con los datos anteriores.

- Otros aspectos: fecha del trabajo de campo, empresa que realiza el sondeo, equipo técnico, etc.