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Resumen

Dos figuras son semejantes cuando la única diferencia entre ellas es su tamaño. Entonces los segmentos correspondientes son proporcionales.
Esto quiere decir que obtendremos una longitud en una de ellas multiplicando la longitud correspondiente en la otra por un número fijo. Este número se llama razón de semejanza.
Usamos la razón de semejanza en planos, mapas y maquetas. En estos se llama escala.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen ángulos iguales y lados proporcionales.
TEOREMA DE TALES: Si tenemos tres rectas paralelas, a, b y c, que cortan a otras dos rectas, r y r’, entonces producen segmentos proporcionales:

Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos son paralelos, decimos que están en posición de Tales:

Entonces son semejantes y tienen lados proporcionales.

Para comprobar que dos triángulos rectángulos son semejantes, es suficiente si uno de sus ángulos agudos es igual o dos de sus lados correspondientes son proporcionales:

En un triángulo rectángulo, la altura que es perpendicular a la hipotenusa tiene la siguiente propiedad: crea dos triángulos rectángulos semejantes al original.

Entonces tenemos el teorema de la altura:
 
 
y el del cateto en dos versiones:
 
El radián es la medida de un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y hace un arco con la misma longitud que el radio

                               π rad = 180o

Si tenemos un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos es α, entonces definimos su seno, coseno y tangente como:

Y sus razones inversas cosecante, secante y cotangente:

Resolver un triángulo es encontrar todos sus lados y ángulos. Para hacerlo en un triángulo rectángulo, tenemos estas fórmulas:

Para representar ángulos en una circunferencia:
  • Tomamos el origen O (0,0) como vértice
  • Usamos el radio en el semieje positivo de abscisas como origen
  • Dibujamos el extremo del ángulo midiéndolo:
      · en el sentido contrario a las agujas del reloj si es positivo
      · en el de las agujas del reloj si es negativo
Si el radio es 1, se llama circunferencia goniométrica.
Tenemos 4 cuadrantes:

      

Si P(x,y) es le punto de intersección de la circunferencia de radio r y el radio que determina el ángulo, entonces:

      

El signo de las razones en los cuadrantes es:

Propiedades:
   • sen2 α + cos2 α = 1, por el Teorema de Pitágoras
   • tg2 α + 1 = sec2 α, si dividimos la fórmula anterior por cos2 α
   • -1 ≤ senα ≤ 1       -1 ≤ cosα ≤ 1

- Ángulos complemetarios, α y 90o – α: 

 

- Ángulos suplementarios, α y 180o - α: 

 

- Ángulos opuestos, α y – α:

 

- Ángulos cuya diferencia es 180o, α y 180o + α:

   

- Ángulos mayores de 360o. Si x es el resto cuanbdo lo dividimos por by 360o , entonces

NOTA. Memoriza esta tabla: