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Resumen

Un determinante es el número resultante si operamos en una matriz cuadrada de determinada forma:

Orden 1:

 
Orden 2:

 
Orden 3: Regla de Sarrus
 
    
Orden n (n > 3): El menor complementario del elemento aij, αij, es el determinante de la matriz que resulta al eliminar su fila y su columna. El adjunto del elemento aij es
 Aij = (-1)i+j·αij
Entonces:
Propiedades:
  • i) det(A) = det(At). Entonces todas las propiedades para filas los son también para columnas
  • ii) Si cambiamos dos filas o columnas el signo del determinante cambia
  • iii) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número
  • iv)

    Análogo para columnas

  • v) Si A tiene una fila o columna de ceros, el determinante es

  • vi) Si A tiene dos filas o columnas iguales → |A| = 0

  • vii) Si A tiene dos filas o columnas proporcionales→ |A| = 0

  • viii) Si añadimos una fila por un número, k·Fi , a otro número, Fj, el determinante no cambia.
  • ix) |A·B| = |A|·|B|
  • NOTAS:

    • 1) Si todos los elementos de una fila o columna son cero excepto uno, el determinante es el producto de ese elemento por su adjunto.
    • 2) Si la matriz es triangular o diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal.
    • 3) Si una fila o columna es combinación lineal de las otras    (Fi = k1F1+k2F2+…)→ |A| = 0

Propiedad fundamental: Si A es invertible→ |A| ≠ 0 entonces, como tenemos que A·A-1 = I

Sea matriz de los adjuntos


entonces