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Propiedades

  • i) det(A) = det(At). Entonces todas las propiedades para filas los son también para columnas.

  • ii) Si cambiamos dos filas o columnas el signo del determinante cambia:

 

En consecuencia, si hacemos un número impar de cambios el determinante cambia de signo,  y si ese número es par no cambia.

Ejemplo:

  • iii) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número:

Ejemplo:

  • iv)

Análogo para columnas

Demostración: si desarrollamos el determinante por esta columna:

   |A|= A1j(b1 + c1) +…= A1j·b1+…+A1j·c1   QED

  • v) Si A tiene una fila o columna de ceros, el determinante es 0

  • vi) Si A tiene dos filas o columnas iguales → |A| = 0

Demostración: supongamos que Fi = Fj

  • vii) Si A tiene dos filas o columnas proporcionales→ |A| = 0 
  • viii) Si añadimos una fila por un número, k·Fi , a otro número, Fj, el determinante no cambia.

Demostración: |A| = |…Fi…Fj…|

|...Fi…Fj+kFi…| = |..Fi…Fj…|+ |..Fi…kFi…| = |A|

  • ix) |A·B| = |A|·|B|

 

NOTAS:

  • 1) Si todos los elementos de una fila o columna son cero excepto uno, el determinante es el producto de ese elemento por su adjunto.
  • 2) Si la matriz es triangular o diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal.
  • 3) Si una fila o columna es combinación lineal de las otras    (Fi = k1F1+k2F2+…)→ |A| = 0

Ejemplos:

1) Si

calcula:

 

 

2) Resuelve:

3) Resuelve:

 

Ejercicios

1.- Calcula:

2.- Resuelve:

3.- Si

  

calcula:

 

 

 

 

Soluciones: 1) a) -36; b) -56; 2) a) x € {-1,2,3}; b) a=b, b=c, a=c; 3) 60